Тре­уголь­ни­ки ADO и BCO по­доб­ны по двум углам:

Угол BCA равен углу CAD, так как они на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных ос­но­ва­ни­ях тра­пе­ции. Угол BOC равен углу AOD, так как они вер­ти­каль­ные. Тогда от­ку­да Пусть AO  =  x. Тогда Так как AC  =  AO + OC, по­лу­ча­ем AC  =  6 + 3  =  9.

Ответ: 9.

Тре­уголь­ни­ки ADO и BCO по­доб­ны по двум углам:

Угол BCA равен углу CAD, так как они на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных ос­но­ва­ни­ях тра­пе­ции. Угол BOC равен углу AOD, так как они вер­ти­каль­ные. Тогда от­ку­да Пусть BO  =  x. Тогда Так как BD  =  BO + OD, по­лу­ча­ем, что BD  =  4 + 8  =  12.

Ответ: 12.

ABCD  — пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция. Про­ве­дем вы­со­ту CH, тогда AH  =  BC  =  9 по свой­ству пря­мо­уголь­ни­ка, зна­чит, HD  =  AD − AH  =  17 − 9  =  8 см².

Тре­уголь­ник CHD пря­мо­уголь­ный, при­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции по фор­му­ле:

Ответ: 78 см².

ABCD  — пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция. Про­ве­дем вы­со­ту CH, тогда AH  =  BC  =  6 по свой­ству пря­мо­уголь­ни­ка, зна­чит, HD  =  AD − AH  =  18 − 6  =  12 см.

Тре­уголь­ник CHD пря­мо­уголь­ный, при­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции по фор­му­ле:

Ответ: 108 см².

Пло­щадь тра­пе­ции вы­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле где a, b  — ос­но­ва­ния, а h  — вы­со­та тра­пе­ции. Обо­зна­чим мень­шее ос­но­ва­ние за x. Тогда боль­шее ос­но­ва­ние равно 5x. Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния, по­лу­чим урав­не­ние: Таким об­ра­зом, мень­ше ос­но­ва­ние равно 4 см. Тогда боль­шее ос­но­ва­ние равно 5 · 4  =  20 см.

Пло­щадь тра­пе­ции вы­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле  · h, где a, b - ос­но­ва­ния, а h - вы­со­та тра­пе­ции. Обо­зна­чим мень­шее ос­но­ва­ние за x. Тогда боль­шее ос­но­ва­ние равно 3x.Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния, по­лу­чим урав­не­ние: Таким об­ра­зом, мень­ше ос­но­ва­ние равно 4 см. Тогда боль­шее ос­но­ва­ние равно 3 · 4  =  12 см.

Про­ведём пря­мую CK па­рал­лель­но диа­го­на­ли BD, CK пе­ре­се­ка­ет AD в точке K, тогда BCKD  — па­рал­ле­ло­грамм по при­зна­ку. Зна­чит, угол AOK равен углу ACK как со­от­вет­ствен­ные при па­рал­лель­ных пря­мых CK и BD и се­ку­щей OC.

В тре­уголь­ни­ке ACK: CK  =  BD (по свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма), но BD  =  AС (по свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции), зна­чит, CK  =  AC, тогда тре­уголь­ник ACK  — пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный. Найдём ка­те­ты по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACK:

Ответ: 100 см².

Про­ведём CK || BD, CK пе­ре­се­ка­ет AD в точке K, тогда BCKD  — па­рал­ле­ло­грамм по при­зна­ку. Зна­чит, угол AOD равен углу ACK как со­от­вет­ствен­ные при CK || BD и се­ку­щей OC. В тре­уголь­ни­ке ACK: AK = AD + DK = 20; CK = BD (по свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма), но BD = AС (по свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции), зна­чит, CK = AC, тогда тре­уголь­ник ACK  — пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный. Найдём ка­те­ты по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ACK, так как тре­уголь­ник ACD для этих фигур яв­ля­ет­ся общим, а тре­уголь­ни­ки ABC и CDK рав­но­ве­ли­ки, так как у них равны ос­но­ва­ния BC и DK и вы­со­ты, про­ведённые к ним. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACK

Ответ: 100 см².

1)  Про­ве­дем вы­со­ту CH. Так как D  =  2R, то

Так как тра­пе­ция пря­мо­уголь­ная, то По тео­ре­ме о впи­сан­ной окруж­но­сти по­лу­ча­ем, что Тогда

2)  На­хо­дим и тогда

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CHD по­лу­ча­ем, что Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния, по­лу­чим:

3)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди тра­пе­ции:

Ответ: 288.

1.  Про­ве­дем вы­со­ту CH. Диа­метр Так как тра­пе­ция пря­мо­уголь­ная, то По тео­ре­ме о впи­сан­ной окруж­но­сти по­лу­ча­ем, что Тогда то есть

2.  За­ме­тим, что BC  =  AH. Тогда:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CHD по­лу­ча­ем, что Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния, по­лу­чим:

Так как BC = AH, то по­лу­ча­ем

Тогда и BC  =  8.

3.  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди тра­пе­ции:

Ответ: 192 см².

Тре­уголь­ник CDA  — рав­но­бед­рен­ный, так как по усло­вию CD  =  AD, зна­чит, углы CAD и DCA равны. Угол DAC равен углу BCA, так как они на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных ос­но­ва­ни­ях тра­пе­ции, а зна­чит, диа­го­наль AC  — бис­сек­три­са угла BCD, тогда по свой­ству бис­сек­три­сы: Так как BO : OD  =  3 : 13, то BC : CD  =  3 : 13.

Рис. 1

Рис. 2

Обо­зна­чим сто­ро­ну BC за 3x, тогда AD  =  AB  =  DC  =  13x. Про­ве­дем вы­со­ты CH и BM. Так как AM  =  HD, най­дем AM: AM  =  HD  =  (AD − MH) : 2  =  (AD − BC) : 2. Имеем: AM  =  (13x − 3x) : 2  =  5x. Най­дем BM по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Под­ста­вим и по­лу­чим, что BM  =  12x. Так как по усло­вию BM  =  24, то x  =  2. Най­дем пло­щадь:

Ответ: 384.

Тре­уголь­ник CBA  — рав­но­бед­рен­ный так как по усло­вию AB  =  BC, зна­чит, углы BCA и BAC равны. Угол CAD равен углу BCA так как они на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных ос­но­ва­ни­ях тра­пе­ции, а зна­чит, диа­го­наль AC  — бис­сек­три­са угла BAD, тогда по свой­ству бис­сек­три­сы: Так как BO : OD  =  5 : 11, то AB : AD  =  5 : 11.

Обо­зна­чим сто­ро­ну AD за 11x, тогда BC  =  AB  =  DC  =  5x. Про­ве­дем вы­со­ты CH и BM. Так как AM  =  HD, най­дем AM: AM  =  (AD − MH) : 2  =  (AD − BC) : 2. Имеем: AM  =  (11x − 5x) : 2  =  3x. Най­дем BM по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Под­ста­вим и по­лу­чим, что BM  =  4x. Так как по усло­вию BM  =  20, то x  =  5. Най­дем пло­щадь:

Ответ: 800.

Пусть m  — сред­няя линия тра­пе­ции с ос­но­ва­ни­я­ми a  =  8 и b  =  14. По опре­де­ле­нию сред­няя линия тра­пе­ции па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям и равна их по­лу­сум­ме, най­дем ее длину:

Ответ: 11 см.

Пусть m  — сред­няя линия тра­пе­ции с ос­но­ва­ни­я­ми a=6 и b=18. По опре­де­ле­нию сред­няя линия тра­пе­ции па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям и равна их по­лу­сум­ме, най­дем ее длину:

Ответ: 12 см.

Диа­го­на­ли делят тра­пе­цию на че­ты­ре тре­уголь­ни­ка, два из ко­то­рых рав­но­ве­ли­ки(тре­уголь­ни­ки ABO и COD, так как они при­ле­жат к бо­ко­вым сто­ро­нам), а два дру­гих по­доб­ны. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BOC и DOA сле­ду­ют от­но­ше­ния:

Тре­уголь­ни­ки AOB и COB имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную из точки B, тогда от­но­ше­ние их пло­ща­дей равно от­но­ше­нию со­от­вет­ству­ю­щих ос­но­ва­ний:

По тео­ре­ме о пло­ща­дях по­доб­ных тре­уголь­ни­ков имеем от­но­ше­ния:

Пло­щадь всей тра­пе­ции равна сумме пло­ща­дей всех тре­уголь­ни­ков, со­дер­жа­щих­ся в ней, то есть:

Ответ:

Диа­го­на­ли делят тра­пе­цию на че­ты­ре тре­уголь­ни­ка, два из ко­то­рых рав­но­ве­ли­ки(тре­уголь­ни­ки ABO и COD, так как они при­ле­жат к бо­ко­вым сто­ро­нам), а два дру­гих по­доб­ны. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BOC и DOA сле­ду­ют от­но­ше­ния:

Тре­уголь­ни­ки BOC и COD имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную из точки C, тогда от­но­ше­ние их пло­ща­дей равно от­но­ше­нию со­от­вет­ству­ю­щих ос­но­ва­ний:

По тео­ре­ме о пло­ща­дях по­доб­ных тре­уголь­ни­ков имеем от­но­ше­ния:

Пло­щадь всей тра­пе­ции равна сумме пло­ща­дей всех тре­уголь­ни­ков, со­дер­жа­щих­ся в ней, то есть

Ответ:

Про­ве­дем CK па­рал­лель­но BD, так как BC па­рал­лель­на DK, а CK па­рал­лель­на BD, то BDCK  — па­рал­ле­ло­грамм. тогда AK  =  BC + AD  = 12, так как сред­няя линия равна 6. Тре­уголь­ник ACK  — рав­но­бед­рен­ный и пря­мо­уголь­ный, ведь угол AOD  =  ACK  =  90°, BD  =  CK  — по свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма и AC  =  BD  — по свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции. Найдём AC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Имеем: Найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACK: Под­ста­вим и по­лу­чим, что S_ACK  =  36. Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ACK так как тре­уголь­ни­ки ABC и CDK равны, по­это­му S_ABCD  =  36.

Ответ: 36.

Про­ве­дем CK па­рал­лель­но BD, так как BC па­рал­лель­на DK, а CK па­рал­лель­на BD, то BDCK  — па­рал­ле­ло­грамм. тогда AK  =  BC + AD  = 16, так как сред­няя линия равна 8. Тре­уголь­ник ACK  — рав­но­бед­рен­ный и пря­мо­уголь­ный, ведь угол AOD  =  ACK  =  90°, BD  =  CK  — по свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма и AC  =  BD  — по свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции. Найдём AC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Имеем: Найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACK: Под­ста­вим и по­лу­чим, что S_ACK  =  64. Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ACK так как тре­уголь­ни­ки ABC и CDK равны, по­это­му S_ABCD  =  64.

Ответ: 64.

В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции мень­шая сто­ро­на яв­ля­ет­ся вы­со­той. где p  — по­лу­сум­ма ос­но­ва­ний, или сред­няя линия. Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния в фор­му­лу:

В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции мень­шая сто­ро­на яв­ля­ет­ся вы­со­той. где p - по­лу­сум­ма ос­но­ва­ний, или сред­няя линия. Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния в фор­му­лу: